Spatial cluster test based on triplets of districts

Bei der Analyse geographischer Daten möchte man auch Cluster mit vergleichsweise hohen oder niedrigen Werten der interessierenden Variablen finden. Moran's I sucht nach globalen Abweichungen von der Nullhypothese unabhängiger Variablenwerte. Ein neuer Test wird vorgeschlagen, der auf Tripletts basiert; das sind im wesentlichen drei Distrikte mit einer gemeinsamen Ecke. Teilgebiete aus Tripletts werden auf signifikante Abweichungen vom Gesamtmittel getestet. Die Beschränkung auf Triplett-Cluster erzwingt einigermaßen kompakte Teilgebiete und dient dazu, die Zahl der möglichen Teilgebiete einzuschränken. Der Test benötigt Approximationen für die Zahl aller Triplett-Cluster einer gegebenen Größe und für eine kombinatorische Größe. Trotz dieser Approximationen liegt die wirkliche Irrtumswahrscheinlichkeit in der Nähe der nominellen, so daß der Test in Situationen wie dem Hypothesen schürfen (data mining) anwendbar ist. Verglichen mit Moran's I hat er eine erheblich kleinere Teststärke bei globalen Gegenhypothesen (was bei der Suche nach lokalen Abweichungen durchaus erwünscht ist), aber eine etwa gleiche oder sogar höhere Teststärke bei lokalen Abweichungen.

Analysing geographical data, one is often interested in finding clusters with suspiciously large or small values of the variable under consideration. Moran's I tests for general deviations from the null hypothesis of independent observations. A new test is proposed based on triplets, essentially three districts of the region with a common corner. Subregions composed of triplets are tested for significant deviation from the general mean. Using triplet clusters serves to reduce the number of potential suspicious subregions and to enforce a certain compactness. The test needs approximations for the total number of triplet clusters and for a combinatorial expression. Despite these approximations, the actual error probability is close enough to the nominal one to make the test useful in situations like data mining. The power of the test is compared with that of Moran's I: the latter one is better for homogeneous counter hypotheses (as was to be expected and is desired) while the triplet test is better for small local deviations from the independence assumption.