Zur Simulationspraxis bei DAE's mit höherem Index

Bei der Simulation analoger Schaltungen im Zeitbereich sind sehr häufig Algebro-Differentialgleichungen (DAE) zu lösen. Diese lassen sich durch ihren Index charakterisieren. Am Index ist u.a. erkennbar, ob während der Simulation mit Schwierigkeiten zu rechnen ist. Die üblicherweise bei Simulationsproblemen angewandten Strategien (Fehlersuche am Modell oder an den Modellparametern, Variation der Simulationsparameter usw.) helfen bei DAE's mit höherem Index in der Regel nicht weiter. Die Ursachen für hohe (ungünstige) Indizes sind vielfältig. Besonders bei abstrakteren Modellierungen können Indexerhöhungen auftreten. Mitunter wird ein höherer Index durch bestimmte Strukturen (z.B. L-Schnitte in elektrischen Netzwerken) hervorgerufen. Auch die gemeinsame Modellierung von physikalischen Zusammenhängen aus verschiedenen Teilgebieten (wie elektrische, optische, mechanische Komponenten im Rahmen der Mikrosystemtechnik) kann auf DAE's mit ungünstigem Index führen. Um den Index einer DAE als Ursache für numerische Schwierigkeiten identifizieren und Schlußfolgerungen ableiten zu können, besteht zunächst die Notwendigkeit, den Index zu bestimmen. Da der Index bei großen bzw. nichtlinearen Systemen schwierig zu bestimmen und ohnehin lokal definiert ist, bietet sich eine numerische Berechnung während der Simulation an. Nach einer Erläuterung des Indexbegriffes wird in diesem Beitrag anhand von Beispielen auf einige numerische Schwierigkeiten eingegangen, die bei DAE`s mit höherem Index auftreten. Es wird ein Rechenprogramm zur numerischen Indexbestimmung vorgestellt. Der implementierte Algorithmus, die Einsetzbarkeit sowie erste Testergebnisse hierzu werden diskutiert. Außerdem werden Möglichkeiten der Indexreduktion durch Modifikation der DAE bzw. der Modellierungsstrategie behandelt und an Beispielen erprobt.