Experience with the solution of a finite difference discretization on sparse grids

Vor kurzem haben wir in [10] eine Finite-Differenzen-Diskretisierung auf dreidimensionalen dünnen Gittern beschrieben und analysiert. Im vorliegenden Artikel zeigen wir eine Möglichkeit zur effizienten iterativen Lösung der enstehenden linearen Gleichungssysteme auf. In Sprengel [16] wurden bereits verschiedene Alternativen untersucht, wobei Multigrid-Algorithmen benutzt werden. Wir berichten hier über unsere Erfahrungen mit dem iterativen Verfahren BiCGStab. Es stellt sich heraus, dass ein Kaskaden-Algorithmus mit BiCGStab als innerer Iteration angewandt auf die hierarchische Darstellung schnell konvergiert, auch wenn dabei die Konvergenzrate nicht ganz unabhängig von der Gitterweite ist.

In a recent paper [10], we described and analyzed a finite difference discretization on adaptive sparse grids in three space dimensions. In this paper, we show how the discrete equations can be efficiently solved in an iterative process. Several alternatives have been studied before in Sprengel [16], where multigrid algorithms were used. Here, we report on our experience with BiCGStab iteration. It appears that, applied to the hierarchical representation and combined with Nested Iteration in a cascadic algorithm, BiCGStab shows fast convergence, although the convergence rate is not truly independent of the meshsize.