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Uncertainty quantification of nonlinear distributed parameter systems using generalized polynomial chaos

Unsicherheitsquantifizierung bei nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungen mittels der Methode des verallgemeinerten polynomialen Chaos
 
: Chettapong, J.; Bernard, Thomas; Beyerer, Jürgen

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Automatisierungstechnik : AT 67 (2019), Nr.4, S.283-303
ISSN: 0178-2312
ISSN: 0340-434X
ISSN: 2196-677X
Englisch
Zeitschriftenaufsatz
Fraunhofer IOSB ()
uncertainty quantification; generalized polynomial chaos; distributed parameter system; parameter calibration; Unsicherheitsquantifizierung; Verallgemeinertes Polynomiales Chaos; partielle Differentialgleichung; Parameterkalibrierung

Abstract
Viele Industrie- und Umweltprozesse sind komplexe örtlich-zeitliche Systeme, die auch als verteilt-parametrische Systeme bezeichnet werden. Sie können oft durch nichtlineare gekoppelte partielle Differentialgleichungen (PDE) beschrieben werden. Solche Systeme sind oft komplex und es ist schwierig, die Beziehung zwischen Modelleingang, Modellausgang und den Modellparametern herzustellen. Zusätzlich weicht die Prädiktion der physikalischen Modelle in der Regel von den realen Messungen ab. Im vorliegenden Beitrag wird ein systematischer Ansatz vorgestellt, um das Systemverhalten bei solchen Prozessen zu verstehen und die Abweichung zwischen der Modellprädiktion und dem realen Prozess zu reduzieren. Unvollständiges Wissen über den Prozess kann als Unsicherheit im Bayes’schen Sinn interpretiert werden. Die Unsicherheiten werden durch Zufallsvariablen oder ein Zufallsfeld beschrieben und mit der Methode der Unsicherheitsquantifizierung (UQ) quantifiziert. Die Hauptschwierigkeiten der Anwendung dieser UQ Ansätze auf nichtlineare PDE sind: (1) Modellierung der Unsicherheiten, (2) Reduktion des Rechenaufwandes. Herkömmliche Verfahren, wie beispielsweise sampling-basierte Verfahren, benötigen zahlreiche Modellberechnungen. Dieser Rechenaufwand kann durch die Methode des verallgemeinerten polynomialen Chaos (generalized polynomial chaos, gPC) vermindert werden. Die gPC Ansätze sind als effiziente Methode zur Quantifizierung der Unsicherheit bekannt. Als ein neues numerisches Verfahren wird die Polynomial Chaos Expansion (PCE) auf die rekursive Bayes’sche Schätzung angewendet. Die Effizienz und Leistungsfähigkeit des vorgeschlagenen Frameworks wird anhand der Diffusionsgleichung als Benchmark-Modell sowie anhand eines komplexen rheologischen Prozesses zur Herstellung von Glasstäben gezeigt. Mit Hilfe des beschriebenen Vorgehens kann der Prozess systematisch analysiert und die Modellparameter optimal kalibriert werden.

 

Many industrial and environmental processes are characterized as complex spatio-temporal systems. Such systems known as distributed parameter systems (DPSs) are usually highly complex and it is difficult to establish the relation between model inputs, model outputs and model parameters. Moreover, the solutions of physics-based models commonly differ somehow from the measurements. In this work, appropriate Uncertainty Quantification (UQ) approaches are selected and combined systematically to analyze and identify systems. However, there are two main challenges when applying the UQ approaches to nonlinear distributed parameter systems. These are: (1) how uncertainties are modeled and (2) the computational effort, as the conventional methods require numerous evaluations of the model to compute the probability density function of the response. This paper presents a framework to solve these two issues. Within the Bayesian framework, incomplete knowledge about the system is considered as uncertainty of the system. The uncertainties are represented by random variables, whose probability density function can be achieved by converting the knowledge of the parameters using the Principle of Maximum Entropy. The generalized Polynomial Chaos (gPC) expansion is employed to reduce the computational effort. The framework using gPC based on Bayesian UQ proposed in this work is capable of analyzing systems systematically and reducing the disagreement between model predictions and measurements of the real processes to fulfill user defined performance criteria. The efficiency of the framework is assessed by applying it to a benchmark model (neutron diffusion equation) and to a model of a complex rheological forming process. These applications illustrate that the framework is capable of systematically analyzing the system and optimally calibrating the model parameters.

: http://publica.fraunhofer.de/dokumente/N-543659.html