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Derivation of fluid dynamics basics using geometric algebra

 
: Cibura, Carsten
: Hildenbrand, Dietmar

Darmstadt, 2007, 76 pp.
Darmstadt, TU, Dipl.-Arb., 2007
English
Thesis
Fraunhofer IGD ()
fluid dynamics; geometric algebra; introduction; physics; mathematics

Abstract
Geometric Algebra is an extension to the linear algebra usually used to describe geometric spaces. It unites Grassmann's inner and outer product into the associative geometric product and allows for the description of geometric objects and transformations like projections and rotations without referring to matrices. Also, algebraic objects described with Geometric Algebra often encode additional information like direction, handedness etc. and have other useful properties. While Geometric Algebra methods have been successfully applied to a variety of problems in the recent past, including computer vision, robotics and relativistic electro-magnetic field theory, its applications to the field of fluid dynamics have been restricted to isolated subjects or specialized problem descriptions. The systematic development of a comprehensive fluid dynamics calculus using Geometric Algebra methods is still an open task. This work will derive the Navier-Stokes equations, which describe a general fluid flow, out of basic physical principles like conservation of mass, balance of momentum and conservations of energy, thus preparing the ground for more in-depth research. While Geometric Algebra does not add greatly to purely scalar equations, it does facilitate their derivation, often making it quicker, easier to understand and, above all, valid in arbitrary dimensions and spaces. Promising results are also achieved in the description of vorticity and rotation as well as the stream function, which can be formulated in higherdimensional and less restricted spaces employing Geometric Algebra.

 

Geometrische Algebra ist eine Erweiterung der linearen Algebra, die im Allgemeinen benutzt wird, um geometrische Räume zu beschreiben. Sie vereinigt Grassmann's inneres und äußeres Produkt zum assoziativen geometrischen Produkt und ermöglicht die Beschreibung geometrischer Objekte und Transformationen, wie Projektion und Rotation, ohne auf Matrizen zurückgreifen zu müssen. Darüber hinaus enthalten algebraische Objekte, die mittels Geometrischer Algebra beschrieben werden, oftmals zusäztliche Informationen wie Richtung, Händigkeit u.s.w. und haben andere nützliche Eigenschaften. Während die Methoden der Geometrischen Algebra in der jüngsten Vergangenheit erfolgreich auf eine Anzahl von Problemen z.B. auf den Gebieten der Computer Vision, Robotik und relativistischen elektromagnetischen Feldtheorie andgewandt wurden, waren ihre Anwendungen im Bereich der Strömungsmechanik meist begrenzt auf isolierte Teilbereiche oder spezielle Problemstellungen. Die systematische Entwicklung eines umfassenden Kalküls für Strömungsmechanik mit Hilfe der Methoden der Geometrischen Algebra ist immer noch ein ungelöstes Problem. Diese Arbeit leitet die Navier-Stokes Gleichungen, die den allgemeinen Fall eines Flusses beschreiben, aus grundlegenden physikalischen Prinzipien wie Masseerhaltung, Momentengleichgewicht und Energieerhaltung her. Dadurch wird der Boden bereitet für weitere, tiefergehende Forschung auf diesem Gebiet. Während Geometrische Algebra für rein skalare Gleichungen keinen großen Vorteil darstellt, vereinfacht sie doch deren Herleitung, indem sie sie oft schneller, leichter verständlich und vor allem in beliebigen Dimensionen und Räumen gültig gestaltet. Vielversprechende Ergebnisse werden auch bei der Beschreibung von Rotation und Wirbeln sowie der Strömungsfunktion erzielt, die mit Hilfe von Geometrischer Algebra in höherdimensionalen und weniger eingeschränkten Räumen formuliert werden können.

: http://publica.fraunhofer.de/documents/N-62336.html