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Das baryzentrische Verhältnis als Invariante der projektiven Geometrie

The barycentric ratio as invariant of projective geometry
 
: Erdnüß, B.

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Postprint urn:nbn:de:0011-n-4590551 (628 KByte PDF)
MD5 Fingerprint: 357313b097c9ba00ea931833b5587dd3
Created on: 27.3.2018


Technisches Messen : TM 84 (2017), No.7-8, pp.479-492
ISSN: 0340-837X
ISSN: 0171-8096 (Print)
ISSN: 2196-7113 (Online)
German
Journal Article, Electronic Publication
Fraunhofer IOSB ()
Projektive Geometrie; Doppelverhältnis; Projektive Invarianten; Baryzentrisches Verhältnis; Kamerapositionsbestimmung; 3D-Punkt-Rekonstruktion; projective geometry; cross-ratio; projective invariants; barycentric ratio; camera position estimation; 3D point reconstruction

Abstract
Invarianten in der Geometrie helfen, unwesentliche Aspekte eines Problems beiseite zu lassen, um so das Wesentliche in den Vordergrund zu rücken. Die fundamentale Invariante der projektiven Geometrie ist das Doppelverhältnis, eine Invariante von vier kollinearen Punkten. Sie ist für das Verständnis und die anschauliche Vorstellung der projektiven Ebene von zentraler Bedeutung. Alle anderen Invarianten der projektiven Geometrie lassen sich auf das Doppelverhältnis zurückführen, allerdings wertet dies andere Invarianten nicht ab, denn auch sie tragen zum Verständnis der projektiven Geometrie bei. In diesem Artikel wird eine Verallgemeinerung des Doppelverhältnisses auf Punktkonfigurationen in höherdimensionalen projektiven Räumen vorgestellt. Die wesentliche Erkenntnis besteht darin, dass das Verhältnis baryzentrischer Koordinaten projektiv invariant ist. In diesem Artikel werden die Eigenschaften der Invariante besprochen und exemplarische Anwendungen zur Kamerapositionsbestimmung und 3D-Punkt-Rekonstruktion vorgestellt.

 

Geometric invariants help to focus on the main aspects of a geometric problem by hiding irrelevant information. The fundamental invariant of projective geometry is the cross-ratio, an invariant of four collinear points. It is of particular importance for the understanding and conception of the projective plane. All other projective invariants can be expressed in terms of cross-ratios but this does not depricate other invariants as they are still beneficial for the understanding of the projective geometry. This article provides a generalisation of the cross-ratio to point configurations in higher dimensional projective spaces. The central insight is that the ratio of barycentric coordinates is projectively invariant. This article discusses the properties of the invariant and shows applications to the estimation of the camera position and 3D point reconstruction.

: http://publica.fraunhofer.de/documents/N-459055.html