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Bewertung von Formveränderungen mit Gradienten der Abbildungsfunktion

 
: Kreuzer, K.
: Alexa, M.

Darmstadt, 2000
Darmstadt, TU, Dipl.-Arb., 2000
German
Thesis
Fraunhofer IGD ()

Abstract
In dieser Arbeit wird ein Verfahren entwickelt, welches das Pfadproblem des Objektmorphings löst. Es werden ausschließlich Objekte betrachtet, welche durch eine lineare Approximation ihrer Berandung als einfaches Polygon repräsentierbar sind.
Unter der Annahme, dass das Korrespondenzproblem bereits gelöst ist, werden zu diesen Polygonen geeignete kompatible Triangulierungen konstruiert. Auf Basis dieser Triangulierungen wird ein Ähnlichkeitsbegriff eingeführt: Die Ähnlichkeit der beiden Triangulierungen wird durch die mittlere Ähnlichkeit ihrer korrespondierenden Dreiecke definiert. Die Ähnlichkeit zwischen Dreiecken soll dabei durch den Gradienten der Abbildungsfunktion festgelegt werden. Dies gelingt über Kostenfunktionen auf der Jacobi-Matrix. Von einer solchen Kostenfunktion wird gefordert, dass Transformationen eines Dreiecks durch Skalierung, Streckung und Scherung mit Kosten belegt werden, während Translation und Rotation kostenfrei sein sollen. Wird ein Dreieck gespiegelt, so werden unendlich große Kosten gefordert, um illegale Triangulierungen auszuschließen. Es werden verschiedene Ansätze für eine gute Kostenfunktion vorgeschlagen:
1. Vergleich mit einer Drehmatrix: Abweichung der Determinante von 1 und anderer Eigenheiten von Drehmatrizen wird mit Kosten belegt.
2. Betrachtung der Bilder der Einheitsvektoren. Es entstehen Kosten, wenn diese insgesamt skaliert, unterschiedlich skaliert oder gegeneinander geschert werden.
3. Betrachtung der Eigenvektoren. Nach Herausrechnen des Rotationsanteils stehen diese senkrecht, und es entstehen nur durch gleiche, bzw. unterschiedliche Skalierungen Kosten.
Der letzte Vorschlag erweist sich als am besten geeignet und wird daher für das weitere Vorgehen verwendet. Der Einfluss der Triangulierung auf die Ähnlichkeitsbewertung kann durch geschickte Optimierung reduziert werden, indem ähnliche Teile der Objekte immer ähnlich trianguliert werden.
Das Pfadproblem wird mit dem Ähnlichkeitsbegriff gelöst: Es wird rekursiv ein Zwischenobjekt definiert, welches die Summe der Kosten zu den beiden gegebenen Objekten minimiert und damit eine möglichst große Ähnlichkeit zu beiden aufweist. Aufgrund der Komplexität der entstehenden zu minimierenden Funktion, ist eine analytische Lösung nicht realisierbar. Daher erfolgt die Minimierung durch ein iteratives Verfahren: Ausgehend von geeigneten Startkoordinaten des Zwischenobjekts werden dessen Knoten so verschoben, dass die Kosten dabei sinken. Die Verschiebungsrichtung wird durch partielle Ableitungen nach den Knotenkoordinaten bestimmt, und es wird so lange iteriert, bis Konvergenz eintritt.
Die Ergebnisse entsprechen weitgehend den Hoffnungen: Die garantiert legalen Triangulierungen ergeben Zwischenobjekte, welche Objektteile nach Möglichkeit rotieren anstatt sie zu verformen. Es ist eine starke Tendenz zu asymmetrischen Zwischenobjekten festzustellen, auch wenn die Ausgangsobjekte symmetrisch sind.
Das Verfahren lässt sich auch auf dreidimensionale Objekte erweitern. Weitere Einsatzmöglichkeiten sind die Lösung des Korrespondenzproblems oder die Behandlung von texturierten Objekten.

: http://publica.fraunhofer.de/documents/N-1020.html